Manacher算法

求最长子回文串

转载声明：@刘毅 (Ethson Liu)

算法过程分析

由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，具体做法是：

  1. 在字符串首尾及每个字符间都插入一个 “#”，这样可以使得原先的奇偶回文都变为奇回文；
  2. 接着再在首尾两端各插入 “$” 和 “^”，这样中心扩展寻找回文的时候会自动退出循环，不需每次判断是否越界，可参见下面代码。
  3. 上述新插入的三个字符，即 “#”、 “$” 和 “^”，必须各异，且不可以与原字符串中的字符相同。

举个例子：s="abbahopxpo"，转换为 s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#^"。如此，s 里起初有一个偶回文 abba 和一个奇回文 opxpo，被转换为 #a#b#b#a# 和 #o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。

定义一个辅助数组 int p[]，其中 p[i] 表示以 i 为中心的最长回文的半径，例如：

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
s_new[i] $ # a # b # b # a # h # o # p # x # p # o # ^
p[i] 1 1 2 1 2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 6 1 2 1 2 1 1

可以看出，p[i] - 1 正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来的重点就是求解 p 数组，如下图：
img
设置两个变量，mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是 mx = id + p[id]。

假设我们现在求 p[i]，也就是以 i 为中心的最长回文半径，如果 i < mx，如上图，那么：

1
2
if (i < mx)  
    p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id - i 为 i 关于 id 的对称点，即上图的 j 点，而 p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径，因此我们可以利用 p[j] 来加快查找。

代码：

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#include <iostream>  
#include <cstring>
#include <algorithm>  
#include <stdio.h>
using namespace std;

char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];

int Init()
{
	int len = strlen(s);
	s_new[0] = '$';
	s_new[1] = '#';
	int j = 2;

	for (int i = 0; i < len; i++)
	{
		s_new[j++] = s[i];
		s_new[j++] = '#';
	}

	s_new[j] = '\0';   // 这是一个好习惯

	return j;  // 返回 s_new 的长度
}

int Manacher()
{
	int len = Init();  // 取得新字符串长度并完成向 s_new 的转换
	int max_len = -1;  // 最长回文长度
	int id;
	int mx = 0;

	for (int i = 1; i < len; i++)
	{
		if (i < mx)
			p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  // 需搞清楚上面那张图含义，mx 和 2*id-i 的含义
		else
			p[i] = 1;

		while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  // 不需边界判断，因为左有 $，右有 ^
			p[i]++;

		// 我们每走一步 i，都要和 mx 比较，我们希望 mx 尽可能的远，
		// 这样才能更有机会执行 if (i < mx)这句代码，从而提高效率
		if (mx < i + p[i])
		{
			id = i;
			mx = i + p[i];
		}

		max_len = max(max_len, p[i] - 1);
	}

	return max_len;
}

int main()
{
	printf("请输入字符串：");
	cin.getline(s,10);
	printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
	cout << Manacher();
	
	return 0;
}