🐧二分法🐧

转自：🔥【github】

ps:二分法一定要牢记3个经常用的模板，注意边界检测。

• 34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
• 69.x的平方根
• 153.寻找旋转排序数组中的最小值
• 167.两数之和II-输入有序数组
• 278.第一个错误的版本
• 744.寻找比目标字母大的最小字母

二分法的3个模板必须记住

3个模板代码区别很小，主要在于找到target之后指针的处理，建议比较target时的大于小于等于三种情况都写出来进行讨论，不易搞混淆，还要牢记左右指针的越界时的处理。while循环里时<=符号，while循环结束后right指针在前，left指针在后。

• 寻找一个数（基本的二分搜索）
• 寻找左侧边界的二分搜索（检查 left 越界的情况）
• 寻找右侧边界的二分搜索（检查 right越界的情况)

int binary_search(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1; 
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
	//直接返回
            right = mid - 1; 
        } else if(nums[mid] == target) {
            return mid;
        }
    }
    return -1;
}

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {  //此处注意区别
            // 别返回，收缩左侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 最后要检查 left 越界的情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {  //此处注意区别
            // 别返回，收缩右侧边界
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 最后要检查 right 越界的情况
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

leetcode给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。
如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

解题思路

• 用二分法找左右边界，直接套用上面的模板
• 找左右边界的函数唯一不同点在于当nums[mid] == target时对指针的操作不同:找左边界就要不断往左压缩即右指针不断往左走right = mid - 1;，函数最后返回左指针，找右边界不断往右压缩即左指针不断往右走left = mid + 1，函数返回右指针
• 注意:要防止左右指针的溢出，和确定所指的数是否是目标值（可能目标值并不存在于数组中）

  vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
      int left  = findLeft(nums, target);
      int right = findRight(nums, target);
      return {left, right};
  }
  
  int findLeft(vector<int>& nums, int target){
      int left = 0;
      int right = nums.size()-1;
      while (left <=right) {
          int mid = left + (right - left)/2;
          if (nums[mid] < target) {
              left = mid + 1;
          } else if (nums[mid] > target) {
              right = mid - 1;
          } else {
              right = mid - 1;
          }
      }
      if (left >= nums.size() || nums[left] != target) return -1;
      return left;
  }
  
  int findRight(vector<int>& nums, int target){
      int left = 0;
      int right = nums.size()-1;
      while (left <=right) {
          int mid = left + (right - left)/2;
          if (nums[mid] < target) {
              left = mid + 1;
          } else if (nums[mid] > target) {
              right = mid - 1;
          } else {
              left = mid + 1;
          }
      }
      if (right < 0 || nums[right] != target) return -1;
      return right;
  }

  x的平方根

  leetcode实现 int sqrt(int x) 函数。计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
  由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去

  解题思路

• 二分法，从比x小的数中找平方等于x的值。
• 注意:结尾返回right而不是left是因为，while循环结束时，right < left，如果x平方根不是整数，那么将会处于(r, l)指针区间内，所以只保留整数意味着返回r所指的数。
• 因为两数相乘可能涉及到溢出问题，所以可以将乘法转换为除法代替mid * mid == x 改为 mid == x / mid。

   int mySqrt(int x) {
      int left = 1, right = x;
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (mid == x / mid) {
              return mid;
          } else if (mid < x / mid){
              left = mid + 1;
          } else if (mid > x / mid) {
              right = mid -1 ;
          }
      }
      return right;
  }

寻找旋转排序数组中的最小值

leetcode假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。
( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。请找出其中最小的元素。你可以假设数组中不存在重复元素。

解题思路

• 使用二分法解决问题的关键是先发现要查找元素的两边数据的特性，左边的数据一定大于数组的最后一位，右边的数据一定小于数组的最后一位，所以选择最后一位作为target进行比较。

   int findMin(vector<int>& nums) {
      int left = 0, right = nums.size() - 1;
      int target = nums[right];
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (nums[mid] < target) {
              right = mid - 1;
          } else if (nums[mid] > target) {
              left = mid + 1;
          } else {
              right = mid - 1; 
          }
      }
      return nums[left];
  }

两数之和II-输入有序数组

leetcode给定一个已按照升序排列 的有序数组，找到两个数使得它们相加之和等于目标数。函数应该返回这两个下标值 index1 和 index2，其中 index1 必须小于 index2。

说明:
返回的下标值（index1 和 index2）不是从零开始的。
你可以假设每个输入只对应唯一的答案，而且你不可以重复使用相同的元素。

解题思路

• 本题推荐哈希表解答，但这里提供一个二分法思路，在看到升序排列的有序数组时，要先想到二分法。
• 基本思路：遍历数组，对于每个数都用二分法来查找第二个数target - nums[i]即可
• 注意：不可以重复使用相同的元素，即第二个数不能和第一个数重复，所以函数参数记录了第一个数的下标。

  vector<int> twoSum(vector<int>& numbers, int target) {
      for (int i = 0; i < numbers.size(); ++i) {
          int num2 = target - numbers[i];
          int index2 = binarySearch(numbers, i, num2);
          if (index2 != -1) return {i + 1 , index2 + 1};
      }
      return {};
  }
  
  int binarySearch(vector<int>& numbers, int index1, int target) {
      int left = 0, right = numbers.size() - 1;
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (numbers[mid] == target) {
              if (mid != index1){
                  return mid;
              } else {
                  left = mid + 1;
              }  
          } else if (numbers[mid] < target) {
              left = mid + 1;
          } else if (numbers[mid] > target) {
              right = mid - 1;
          }
      }
      return -1;
  }

第一个错误的版本

leetcode你是产品经理，目前正在带领一个团队开发新的产品。不幸的是，你的产品的最新版本没有通过质量检测。由于每个版本都是基于之前的版本开发的，所以错误的版本之后的所有版本都是错的。
假设你有 n 个版本 [1, 2, …, n]，你想找出导致之后所有版本出错的第一个错误的版本。
你可以通过调用 bool isBadVersion(version) 接口来判断版本号 version 是否在单元测试中出错。实现一个函数来查找第一个错误的版本。你应该尽量减少对调用 API 的次数。

解题思路

• 升序数组 且 第一个错误版本之前是好的，之后都是坏的，很容易想到二分搜索查找最左边界的错误版本。

  int firstBadVersion(int n) {
      int left = 1, right = n;
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (!isBadVersion(mid)) {
              left = mid + 1;
          } else {
              right = mid - 1; 
          }
      }
      return left;
  }

寻找比目标字母大的最小字母

leetcode给你一个排序后的字符列表 letters ，列表中只包含小写英文字母。另给出一个目标字母 target，请你寻找在这一有序列表里比目标字母大的最小字母。
在比较时，字母是依序循环出现的。举个例子：

如果目标字母 target = ‘z’ 并且字符列表为 letters = [‘a’, ‘b’]，则答案返回 ‘a’

示例

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "c"
输出: "f"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "d"
输出: "f"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "g"
输出: "j"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "j"
输出: "c"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "k"
输出: "c"

解题思路

• 代码比较简单，主要是理解函数最后应该返回left还是right的问题
• 题意知，我们要在一个有序数组中找比目标字母大的最小字母，首先需要先找到目标字母的最后一位，也就是右边界，然后再往后一位即为所求。
• 二分法找右边界，左指针不断往右压缩
• while循环结束后，无论有没有找到，目标字母一定在[right, left)区间内，因为是往右压缩，所以如果数组中存在目标字母，那就是right所指的字母，如果不存在，目标字母一定在right和left所指的字母之间。但题目要求找比目标字母稍大的字母，所以left所指正好满足。所以返回值要返回left指针。
• 根据上一条分析，函数应该返回left指针，就要考虑left指针的溢出问题，当left超出数组边界时，返回数组首字母。

  char nextGreatestLetter(vector<char>& letters, char target) {
      int left = 0, right = letters.size() - 1;
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (letters[mid] == target) {
              left = mid + 1;
          } else if (letters[mid] < target) {
              left = mid + 1;
          } else if (letters[mid] > target) {
              right = mid - 1;
          }
      }
      return left >= letters.size() ?  letters[0] : letters[left]
  }